यूक्लिड का गणित में योगदान (Contribution of Euclid in Mathematics)

यूक्लिड का गणित में योगदान (Contribution of Euclid in Mathematics

• जन्म - लगभग 300/325 ई0 पूर्व 
• स्थान - सिकन्दरिया (अलेक्जेंड्रिया)
• प्रमुख पुस्तक - एलिमेंट्स (Elements) (13 अध्याय)
• अन्य पुस्तक - डेटा, स्युडेरिया, शांकब, पोरिस्मस, तल बिंदुपथ।
• शिक्षा - प्लेटो अकादमी से
• इन्हें ज्यामिति का जनक भी माना जाता है।
• उसकी एलिमेंट्स (Elements) नामक पुस्तक गणित के इतिहास में सफलतम् पुस्तक है।

एलिमेंट्स नामक इस ग्रन्थ के पहले खण्ड में वृत, त्रिभुज, रेखा, बिंदु के बारे में समझाया गया है। दूसरे खण्ड में बीजगणित के द्वारा रेखागणित की आकृतियां बनाना बताया गया है। तीसरे और चौथे खण्ड में वृत की जानकारी है। पांचवे और छठे खण्ड में अनुपात के सिद्धान्त है। सातवे, आठवें और नवे खण्ड में अंकगणित को समझाया है। बाकी के खण्ड ठोस ज्यामिति से सम्बंधित है जिसमे घन, पिरामिड की ज्यामिति समझाई गई है।

एलिमेंट्स के 13 अध्यायों की सूची- 

•  सर्वांगसमता (Congruency ) और समांतर (Parallelism)
• बीजगणितीय सर्वसमिकायें और क्षेत्रफल (Algebraic Identity and Area)
• वृत्त (Circle) 
• अन्तर्गत और परिगत बहुभुज (Inscribed and Circumscribed Polygons)
•  समानुपात (Proportion) 
•  बहुभुजों की समरूपता (Similarity of Polygons)
• (7-9) अंकगणित (Arithmetic)
• असुमेय राशियाँ (Irrational Numbers)
• (11-13) ठोस ज्यामिति (Solid Geometry )

‘एलीमेन्ट्स’ में यूक्लिड ने ज्यामिति के आधारभूत सिद्धान्तों तथा साध्यों की बहुत-ही व्यवस्थित और वैज्ञानिक ढंग से पूर्व जानकारी देने की चेष्टा की है। साथ ही, स्वयं-सिद्ध तथ्यों एवं अभिगृहीतों (Axioms and Postulates) पर उन्होंने बहुत ही  गहनता से मनन किया तथा अपने मौलिक विचार प्रस्तुत किये।  बाइबिल के बाद दुनिया की यह दूसरी पुस्तक थी जिसकी इतनी अधिक प्रतियाँ बिकीं और दुनिया की लगभग सभी भाषाओं में इसके अनुवाद छापे गए।  अधिकांश विशेषज्ञों का ऐसा विचार है कि यूक्लिड को इस विशाल ग्रंथ की प्रेरणा महान्  दार्शनिक अरस्तू से मिली थी किन्तु उनके इस विशाल ग्रंथ का अध्ययन करने से प्रतीत  होता है कि यह सब कुछ उनकी अपनी सूझबूझ तथा खोजों द्वारा ही संभव हो पाया। यही कारण है कि आज का संसार इन्हें ज्यामिति के जनक (Originator of Geometry)के रूप में जानता है और यही सही भी है। इन्होंने रेखागणित के क्षेत्र में ‘यूक्लीडियन गणित शिक्षण ज्योमेट्री' के नाम से एक दिव्य ज्योति को प्रज्ज्वलित किया। आइन्सटीन  महान् वैज्ञानिक ने ‘सापेक्षिकता के सिद्धान्त' के प्रतिपादन हेतु इसी ग्रंथ का सहारा लिया। उनकी नाम दृष्टि में यूक्लिड ऐसा अन्वेषी था जिसने तार्किक योजना को जन्म दिया। इस महान् गणितज्ञ का योगदान सिर्फ ज्यामिति में ही नहीं अपितु प्रकाशिकी, विभाजन सिद्धान्त आदि में भी था।

योगदान (Contribution)-

1. अपने पूर्वज ग्रीक रेखागणितज्ञों की तरह उसने उस युग की तीन चुनौतीपूर्ण समस्याओं पर विचार किया- 

(a) किसी कोण को तीन बराबर भागों में बाँटना

(b) किसी घन (Cube) को दुगुना करके 

(c) किसी वृत्त का वर्गीय (Square) रूप प्राप्त करना ।

2. यूक्लिड ने पाइथागोरस द्वारा हल होने वाली अपरिमेय संख्याओं (Irrational Numbers) से सम्बन्धित एक पुरानी समस्या को भी हल करने में सफलता प्राप्त की। इस समस्या में एक ऐसे समकोण त्रिभुज के कर्ण की लम्बाई ज्ञात करनी जिसका आधा और लम्ब दोनों की इकाई एक हो। पाइथागोरस का यही अनुमान था कि इसका को उचित हल नहीं निकल सकता। परन्तु यूक्लिड ने इसे हल करके दिखाया।

3. संख्या सिद्धान्त (Number Theory) के क्षेत्र में अपने समय के और गणितज्ञ की तरह यूक्लिड ने भी कोई संख्या अभाज्य संख्या (Prime Number) है या नहीं, इसक पता लगाने के लिये एक टैस्ट तैयार करने का प्रयास किया। यद्यपि इस दिशा में उसे कोई विशेष सफलता नहीं मिल सकी परन्तु फिर भी उसने अभाज्य संख्याओं के बारे मे कम से कम यह पता तो लगाया कि उनकी संख्या अनगिनत (Infinite) है।

4. यूक्लिडियन ज्यामिति एक गणितीय प्रणाली है जिसका श्रेय अलेक्जेंड्रिया के यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड को दिया जाता है, जिसका वर्णन उन्होंने ज्यामिति पर अपनी पाठ्यपुस्तक The Elements में किया है। यूक्लिड की विधि में सहज रूप से आकर्षक स्वयंसिद्धों (Axioms) के एक छोटे से सेट को ग्रहण करना और इनमें से कई अन्य प्रमेय  को निकालना शामिल है। हालांकि यूक्लिड के कई परिणाम पहले के गणितज्ञों द्वारा बताए गए थे, यूक्लिड ने सबसे पहले यह दिखाया कि कैसे ये प्रमेय एक व्यापक निगमनात्मक और तार्किक प्रणाली में फिट हो सकते हैं। Elements की शुरुआत समतल ज्यामिति से होती है, जो अभी भी माध्यमिक विद्यालय (हाई स्कूल) में पहली स्वयंसिद्ध प्रणाली (Axiomatic system) और गणितीय प्रमाणों  (Mathematical proofs) के पहले उदाहरणों के रूप में पढ़ाया जाता है। यह तीन आयामों की ठोस ज्यामिति पर जाता है। अधिकांश तत्व उस परिणाम को बताते हैं जिसे अब बीजगणित और संख्या सिद्धांत कहा जाता है, जिसे ज्यामितीय भाषा में समझाया गया है।

5. Euclid's Division Algorithm - HCF

If a and b are two positive integers then the must satisfy the condition - a = bq + r . Where 0 ≤ r< b.

Ex-   45 = 6*7+3

 जवाहर नवोदय विद्यालय समिति (Jawahar Navodaya Vidyalaya Samiti, NVS)

स्थापना -         1986-87

मुख्यालय -    नई दिल्ली

क्षेत्रीय कार्यालय - 8

कुल  विद्यालय - 661  (638+ 23 additional) (As per Year 2021)

मुख्य उद्देश्य -   ग्रामीण क्षेत्रों के प्रतिभाशाली बच्चों को उनके परिवार की सामाजिक-आर्थिक स्थितियों की परवाह किए बिना अच्छी गुणवत्ता वाली आधुनिक शिक्षा प्रदान करना- जिसमें संस्कृति का एक मजबूत घटक, मूल्यों का समावेश, पर्यावरण के प्रति जागरूकता, साहसिक गतिविधियाँ और शारीरिक शिक्षा शामिल है।  

जवाहर नवोदय विद्यालय समिति भारत सरकार के शिक्षा मंत्रालय के अन्तर्गत एक स्वायत्तशासी संगठन है।  यह संगठन पिछड़े और निर्धन वर्ग के विद्यर्थियों को शिक्षा प्रदान कर  प्रतिभाशाली विद्याथियों को  आगे बढ़ा रहा है  जिससे  देश इन विद्यार्थियों की  प्रतिभा के लाभ से वंचित न रहे। देश मे गरीब एव पिछड़े वर्ग के प्रतिभाशाली विद्यार्थियों की शिक्षा की  ओर सर्वप्रथम ध्यान 1982 में तत्कालीन युवा प्रधानमन्त्री श्री राजीव गाँधी का गया। उन्होंने शिक्षाविदों से इस समस्या के समाधान हेतु सुझाव आमन्त्रित किए और उन सुझावों के आधार पर राष्ट्रीय शिक्षा नीति, 1986 में गति निर्धारिक विद्यालयों (Pace Setting Schools) की स्थापना की घोषणा की और इन्हें नवोदय विद्यालय का नाम दिया। आगे चलकर इन नवोदय विद्यालयों को जवाहर नवोदय विद्यालयों के नाम से पुकारा जाने लगा। 1986-87 में इन विद्यालयों की स्थापना शुरू की गई और इन विद्यालयों की स्थापना एवं इनकी पूर्ण व्यवस्था के लिए इस समिति का गठन किया गया। 

संगठनात्मक सरंचना ( Organizational Structure)

इस समिति के प्रशासन तंत्र को तीन भागों में विभक्त किया गया है- 

केंद्रीय स्तर, क्षेत्रीय स्तर एवं स्थानीय स्तर।

केंद्रीय स्तर पर प्रशासन-  इसमे दो समितियाँ हैं -

1. सामान्य समिति (General Body) - 

केंद्रीय शिक्षा मन्त्री -  चेयरमेन (Chairman)  
राज्य मन्त्री -            डिप्टी चेयरमेन (Deputy Chairman)  

2. कार्यकारिणी समिति (Executive Committee) - 

केंद्रीय शिक्षा मन्त्री -  चेयरमेन (Chairman)   

इसके मुख्य अधिकारी कमिश्नर (Commissioner) की नियुक्ति सरकार करती है। इस समिति में कमिश्नर के अतिरिक्त 3 जॉइन्ट कमिश्नर (Joint Commissioner), 5 डिप्टी कमिश्नर (Deputy Commissioner), 11 एसिसटेन्ट कमिश्नर (Assistant. Commissioner) और एक जनरल मैनेजर (General Manager) नियुक्त हैं। कार्यकारिणी समिति की दो उपसमितियाँ हैं—

(i) वित्त समिति (Finance Committee) – यह वित्त मामलों के लिए उत्तरदायी ।

(ii) प्रशासन सलाहकार समिति (Administration Advisory Committee) – यह प्रशासन सम्बन्धी सभी मामलों के लिए उत्तरदायी। 

क्षेत्रीय स्तर पर प्रशासन-  

कुल क्षेत्रीय कार्यालय (Regional Office)-  8 (As per Current Report 2021)

Regional Offices of NVS
Sr. No.	Regions	No. of JNVs	States & No. of Jawahar Navodaya Vidyalayas as on 31.03.2020
1.	Bhopal	108 + 5 = 113	Chhattisgarh (28), Madhya Pradesh (54), Odisa (31)
2.	Chandigarh	57 + 2 =   59	Chandigarh U.T.(1), Himachal Pradesh (12),Jammu & Kashmir (21), Ladakh U.T. (2), Punjab (23)
3.	Hyderabad	74 + 3 =  77	A&N Islands U.T.(3), Andhra Pradesh (15), Karnataka(31), Kerala(14), Lakshadweep U.T.(1), Pondicherry U.T. (4), Telangana(9)
4.	Jaipur	63 + 2 =   65	Delhi (9), Haryana (21), Rajasthan(35)
5.	Lucknow	88 + 1 =   89	Uttar Pradesh (76), Uttarakhand(13)
6.	Patna	81 + 4 =   85	Bihar (39), Jharkhand (26), West Bengal (20)
7.	Pune	71 + 2 =   73	Dadra Nagar Haveli and Daman & Diu U.T.(3), Goa (2). Gujarat(34), Maharashtra(34)
8.	Shillong	96 + 4 = 100	Arunachal Pradesh(18), Assam(28), Manipur (11), Meghalaya (12), Mizoram (8), Nagaland (11), Sikkim (4), Tripura(8)
Total		638 + 23 = 661	Total 661 JNVs have been sanctioned in 638 districts of India. Additional JNVs have been sanctioned in 23 districts, which include 10  JNVs in SC & 10 JNVs in ST having large concentrated population and 03 JNVs i.e.  Senapati-II (Manipur), Ukhrul-II (Manipur) and Ratlam-II (Madhya Pradesh) as a special case.

प्रत्येक क्षेत्रीय कार्यालय में एक डिप्टी कमिश्नर (Deputy Commissioner) नियुक्त है जो क्षेत्रीय कार्यालय के मुख्य अधिकारी के रूप में कार्य करता है। इसकी सहायता के लिए 4 एसिसटेन्ट कमिश्नर (Assistant Commissioner), 1 इंजीनियर (Engineer), 1 एकाउन्ट ऑफीसर (Account Officer) और सपोर्टिंग स्टॉफ है। ये क्षेत्रीय कार्यालय अपने क्षेत्र के समस्त जवाहर नवोदय विद्यालयों के प्रशासन एवं उनकी उचित देखभाल के लिए उत्तरदायी हैं। इनके सहयोग से ही केन्द्रीय कार्यालय अपने उत्तरदायित्व का सम्पादन करता है। 

स्थानीय स्तर पर  प्रशासन-

प्रत्येक जवाहर नवोदय विद्यालय के लिए दो समितियाँ हैं 

1. विद्यालय एडवाइजरी समिति (Vidyalaya Advisory Committee)- 

अध्यक्ष -  जिलाधिकारी (DM)  

सदस्य-   स्थानीय अधिकारी एवं शिक्षाविद  

2. विद्यालय प्रबन्ध समिति (Vidyalaya Management Committee) - 

अध्यक्ष -  जिलाधिकारी (DM)  

सदस्य-   स्थानीय अधिकारी एवं शिक्षाविद  

उद्देश्य (Objective)- 

• 1. मुख्य रूप से ग्रामीण क्षेत्रों के प्रतिभाशाली बच्चों को उनके परिवार की सामाजिक-आर्थिक स्थिति पर ध्यान दिए बिना, गुणात्मक आधुनिक शिक्षा प्रदान करना, जिसमें सामाजिक मूल्यों, पर्यावरण के प्रति जागरूकता, साहसिक कार्यकलाप और शारीरिक शिक्षा जैसे महत्वपूर्ण घटकों का समावेश हो।

• 2. देश भर में एक उपयुक्त स्तर पर एक समान माध्यम अर्थात् अंग्रेजी एवं हिन्दी में शिक्षण की सुविधाएं प्रदान करना।

• 3. सभी विद्यालयों के स्तर में तुलनात्मकता सुनिश्चित करने व हमारी मिली-जुली संस्कृति एवं परम्पराओं को समझने में सुविधा हो इसके लिए मूल-पाठ्यचर्या प्रदान करना।

• 4. राष्ट्रीय एकता को बढ़ावा देने और सामाजिक भावना की समृद्धि के लिए प्रत्येक स्कूल के विद्यार्थियों को क्रमिक रूप से देश के एक भाग से दूसरे भाग में ले जाना।

• 5. वर्तमान परिस्थितियों के अनुरूप अध्यापकों को प्रशिक्षण एवं अनुभव और सुविधाओं के परस्पर आदान-प्रदान द्वारा स्कूल शिक्षा की गुणवत्ता में सुधार के लिए एक केन्द्र बिन्दु के रूप में कार्य करना।

• 6. नवोदय विद्यालयों के विद्यार्थियों के रहने के लिए छात्रवास स्थापित करना, उनका विकास, रख-रखाव व प्रबंधन करना।  समिति के उद्देश्यों की पूर्ति के लिए यदि आवश्यक हो, देश के किसी भी भाग में स्थित अन्य संस्थाओं को वित्तीय सहायता प्रदान करना, उन्हें स्थापित एवं उनका संचालन करना।

• 7. ऐसे सभी कार्य करना जो इस समिति के किसी या सभी उद्देश्यों की पूर्ति के लिए आवश्यक, प्रासंगिक या सहायक समझे जाएं।

कार्य (Functions) -

• समय-समय पर आवश्यकतानुसार नीति एवं कार्यक्रम निर्धारण करना। 
• वार्षिक बजट बनाना और भिन्न-भिन्न मदों के लिए धनराशि निश्चित करना। 
• जिन जिलों में अभी तक नवोदय विद्यालय नहीं है, राज्य सरकार द्वारा 35 एकड़ भूमि निःशुल्क उपलब्ध कराने पर उनमें जवाहर नवोदय विद्यालय स्थापित करना । 
• जवाहर नवोदय विद्यालयों में प्रवेश हेतु चयन परीक्षा की व्यवस्था करना प्रारम्भ में इस चयन परीक्षा का सम्पादन एन.सी.ई.आर.टी. (NCERT) करती थी, वर्तमान में सी.बी.एस.ई (CBSE) के द्वारा होता है। इस परीक्षा में सरकार द्वारा मान्यता प्राप्त स्कूलों से कक्षा 5 उत्तीर्ण छात्र बैठ  सकते हैं। इनमें 75% स्थान ग्रामीण क्षेत्र के बच्चों के लिए, 33% स्थान लड़कियों के लिए और स्थान विशेष पर अनुसूचित जाति एवं जनजाति के प्रतिशत के आधार पर अनुसूचित जाति एवं जनजाति के बच्चों के लिए आरक्षित हैं।
• जवाहर नवोदय विद्यालयों के लिए प्रधानाचार्यों एवं शिक्षकों का चयन करना। यह चयन भारतीय स्तर पर खुले विज्ञापन, लिखित परीक्षा और मौखिक साक्षात्कार द्वारा किया जाता है।
• नवोदय विद्यालयों के भवन निर्माण एवं भवन मरम्मत कार्य कराना। 

 ब्रह्मगुप्त का गणित में योगदान (Contribution of Brahmagupta in Mathematics)

जन्म - 598 ई0

स्थान- भिलनालका (पंजाब) / उज्जैन 

पिता का नाम-  विष्णुगुप्त

मृत्यु -  668 ई ० 

क्षेत्र - Astronomy, Mathematics

प्रमुख पुस्तक-  ब्रह्म स्फुट सिद्धान्त, ध्यान ग्रहोपदेश 

• ब्रह्मगुप्त गणित ज्योतिष के बड़े आचार्य हो गये हैं। प्रसिद्ध गणितज्ञ भास्कराचार्य ने इन्हें 'गणित चक्र चूरामणि' कहा है। 
• शून्य से गणना करने का नियम सबसे पहले ब्रह्मगुप्त  ने ही दिया था । 
• सन् 628 ई० में ब्रह्म स्फुट सिद्धान्त और सन् 665 में खण्ड साधक को बनाया था।  ब्रह्म स्फुट सिद्धान्त में 21 अध्याय हैं, जिनमें गणित अध्याय तथा कुटखाध्यका उल्लेखनीय हैं। गणित अध्याय का उल्लेख गिनने तथा कुटखाध्यका में बीजगणित का उल्लेख किया है। 
• इन्होंने अंकगणित, बीजगणित तथा रेखागणित सभी गणितों पर प्रकाश डाला है।   
• π का मान √10 माना है  ।
• वर्गीकरण की विधि का वर्णन सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्त ने ही किया है तथा विलोम विधि का वर्णन बड़ी अच्छी तरह से किया है। 
• गणित अध्याय शुद्ध गणित में ही हैं। इसमें जोड़ना, घटाना आदि त्रैराशिक भाण्ड, प्रति भाण्ड आदि हैं। 
• अंकगणित या परिपाटी गणित में है श्रेणी व्यवहार (Series behavior), क्षेत्र व्यवहार (area behavior), त्रिभुज , चतुर्भुज (quadrilateral) आदि के क्षेत्रफल जानने की विधि , चित्र व्यवहार (ढाल-खाई आदि के घनफल जानने की रीति), त्रैवाचिक व्यवहार (triangular behavior), राशि व्यवहार (zodiac behavior) (अन्न के ढेर का परिमाण जानने की विधि ), छाया व्यवहार (shadow behavior) (इसमें दोष, सम्बन्ध तथा उसके स्तम्भ की अनेक विधि) आदि 24 प्रकार के अध्याय इसी के अन्तर्गत हैं।
• वृतीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल निकालने के लिए सूत्र दिया -

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

where s, the semi - perimeter, is defined to be

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Brahmagupta's identity (Brahmagupta–Fibonacci identity)-

In algebra, Brahmagupta's identity says that, for given , the product of two numbers of the form  is itself a number of that form. In other words, the set of such numbers is closed under multiplication. Specifically:

For example,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

(This identity holds in both the ring of integers and the ring of rational numbers, and more generally in any commutative ring.)

Brahmagupta's problem- 

This problem was given in India by the mathematician Brahmagupta in 628 AD in his treatise Brahma Sphuta Siddhanta:

Solve the Pell's equation

${\displaystyle x^{2}-92y^{2}=1}$

for integers ${\displaystyle x,y>0}$.

Brahmagupta gave the smallest solution as

${\displaystyle (x,y)=(1151,120)}$.

ब्रह्मगुप्त का प्रक्षेप सूत्र (Brahmagupta's interpolation formula)-

Brahmagupta used a simple linear interpolation formula. The linear interpolation formula to compute f(a) is

${\displaystyle f(a)=f_{r}+tD_{r}}$ where ${\displaystyle t={\frac {a-x_{r}}{h}}}$.

 

रामानुजन का गणित में योगदान (Contribution of Ramanujam in Mathematics)

  रामानुजन  का  गणित में योगदान(Contribution of Ramanujam  in Mathematics)

जन्म - 22/12/1987
स्थान -  इरोड, मद्रास प्रेसीडेंसी, जिला - तंजौर 

मृत्यु - 26/04/1920 (32 Years)
अकादमिक सलाहकार - जी० एच० हार्डी,  जे० ई ० लिटलवुड 

इनके पिता एक साधारण परिवार में निर्धन ब्राह्मण थे तथा एक कपड़े की दुकान पर मुनीमी करके अपना पेट पालते थे। रामानुजन  ने अपनी प्रारम्भिक शिक्षा पास के कस्बे कुम्बकोनम, जहाँ इनके पिता नौकरी करते थे, में प्राप्त की। अपनी कक्षाओं में ये सदैव ही प्रथम आते थे। इन्हें बाल्यावस्था से ही गणित से बेहद प्रेम था, यहाँ तक कि अपने दोस्तों का मनोरंजन वे गणित के सूत्रों से किया करते थे। इनकी गणितीय प्रतिभा से प्रभावित होकर इनके अध्यापकों ने इन्हें 12 वर्ष की आयु में ही बाल विद्वान घोषित कर दिया था क्योंकि इस छोटी आयु में इन्होंने गणित सम्बन्धी जो मौलिक कार्य करके सिखाया जो  बड़े-बड़े गणितज्ञों की सम्पूर्ण आयु के परिश्रम से महत्वपूर्ण था। 

17 वर्ष की आयु में इन्होंने सरकारी छात्रवृत्ति प्राप्त करते हुये हाई स्कूल की परीक्षा पास की तथा छात्रवृत्ति के बल पर ही कॉलिज में प्रवेश भी ले लिया। परन्तु यहाँ पर इनका गणित प्रेम इनके साथ धोखा कर गया। गणित के अध्ययन में डूबे रहने के कारण ये अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण हो गये। फलस्वरूप इनकी छात्रवृत्ति बन्द हो गयी और साथ ही इस निर्धन छात्र की पढ़ाई का भी यहीं अन्त हो गया।

महत्वपूर्ण घटनाएं -

• प्राइमरी स्कूल का एक अध्यापक तीसरी श्रेणी के अपने विद्यार्थियों को समझा रहे थे  कि "किसी भी  संख्या को उसी संख्या से भाग देने पर भागफल एक होता है।" सब बच्चे चुपचाप सुनते रहे, परन्तु रामानुजम से   न रहा गया और वह एकदम खड़ा होकर बोला “सर, क्या यह नियम शून्य पर भी लागू होता है?" अपने अध्यापक को भी इतनी छोटी-सी अवस्था में इस प्रकार के गूढ़ प्रश्नों द्वारा चक्कर में डालने वाले महानुभाव और कोई नहीं प्रख्यात गणितज्ञ रामानुजन  ही थे। तीसरी कक्षा में ही इन्होंने बीजगणित आदि का इण्टरमीडियेट कक्षाओं तक का पाठ्यक्रम समाप्त कर लिया था तथा चौथी कक्षा में आते-आते बी० ए० की त्रिकोणमिति के कठिन प्रश्न हल करने लग गये थे।
• मद्रास "पोर्ट ट्रस्ट कार्यालय" में मध्यावकाश के समय जब सभी कर्मचारी गण चाय-पान आदि के लिये बाहर चले गये तो चेयरमैन “सर फ्रांसिस स्प्रिंग" ने अचानक कार्यालय का निरीक्षण किया। उसे फर्श पर गिरा हुआ कागज का एक पन्ना दिखाई पड़ा। उसने उसे उठाकर पढ़ना शुरु किया। वह आश्चर्यचकित होकर बोला-"ओह! यह क्या इसमें तो गणित के अत्यन्त कठिन प्रश्नों को हल किया गया है।" उसने एक बार पुनः कार्यालय में चारों तरफ नजर दौड़ाई। इस बार उसने देखा न कि एक दुबला-पतला व्यक्ति अपनी मेज से चिपका हुआ कुछ लिखने में खोया हुआ है। उस व्यक्ति के पास पहुँचकर अधिकारी ने पूछा- "तुम अकेले बैठे-बैठे यहाँ क्या कर रहे न हो?” “जी गणित के सवाल लगा रहा हूँ।" "क्या यह तुम्हारा ही लिखा हुआ है?” “जी हाँ, मेरा ही लिखा हुआ है।" "तुमने यह गणित कहाँ से सीखी है?" “देवी नाग गिरी की कृपा से अपने आप।" अधिकारी ने कहा- "मित्र तुम्हें तो गणित की दुनिया का बादशाह होना चाहिये, तुम यहाँ कहाँ पड़े हो?" वह प्रतिभाशाली नवयुवक 'रामानुज' था जिसने भारत का सर ऊँचा किया।
• 
  

योगदान (Contribution)-

• लांडौ-रामानुजन स्थिरांक (Landau–Ramanujan constant)-

If ${\displaystyle N(x)}$ is the number of positive integers less than ${\displaystyle x}$ that are the sum of two squares, then

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\ \left({\dfrac {N(x)}{\dfrac {x}{\sqrt {\log(x)}}}}\right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541}$

where ${\displaystyle b}$ is the Landau–Ramanujan constant.

• रामानुजन-पीटरसन अनुमान (Ramanujan–Peterson conjecture)

The Ramanujan conjecture, due to Srinivasa Ramanujan (1916, p.176), states that Ramanujan's tau function given by the Fourier coefficients τ(n) of the cusp form Δ(z) of weight 12

${\displaystyle \Delta (z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n>0}\left(1-q^{n}\right)^{24}=q-24q^{2}+252q^{3}-1472q^{4}+4830q^{5}-\cdots ,}$

where ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$, satisfies

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{\frac {11}{2}},}$

when p is a prime number. The generalized Ramanujan conjecture or Ramanujan–Peterson conjecture, introduced by Peterson (1930), is a generalization to other modular forms or automorphic forms.

• रामानुजन प्राइम (Ramanujan prime)-

Ramanujan prime is a prime number that satisfies a result proven by Srinivastava  Ramanujan relating to the prime-counting function.

that is:

where ${\displaystyle \pi (x)}$ is the prime-counting function, equal to the number of primes less than or equal to x.

• रामानुजन-सोल्डर स्थिरांक (Ramanujan–Soldner constant)- 

Its value is approximately μ ≈ 1.45136923488338105028396848589202744949303228....

Ramanujan–Soldner constant (also called the Soldner constant) is a mathematical constant defined as the unique positive zero of the logarithmic integral function.

• रामानुजन का योग (Ramanujan's sum)-

Ramanujan's sum, usually denoted c_q(n), is a function of two positive integer variables q and n defined by the formula:

where (a, q) = 1 means that a only takes on values co-prime to q.

• Ramanujan's master theorem -

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$

• सभी पूर्ण संख्याएँ (Integers) रामानुजन  की मित्र थीं। एक बार जब वे बीमार थे। और उन्हें देखने के लिये मि० लिटिलवुड टैक्सी नं० 1729 में आये, तो रामानुजन  ने 1729 के विषय में कहा कि यह ऐसी छोटी से छोटी संख्या है जिसे दो संख्याओं के धनों के रूप में दी भिन्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है,

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

केन्द्रीय विद्यालय संगठन (Kendriya Vidyalaya Sangthan, KVS)

 केन्द्रीय विद्यालय संगठन (Kendriya Vidyalaya Sangthan, KVS)

परिचय (Introduction)-

स्थापना -  15 दिसंबर, 1963 

अधिकार-  शिक्षा मंत्रालय, भारत सरकार

स्कूल बोर्ड - केंद्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (CBSE)

मुख्यालय - नई दिल्ली

कुल स्कूल - 1248 (2021 तक) (1245 स्कूल भारत में एवं 3 स्कूल मास्को, तेहरान एवं काठमांडू में)।

केन्द्रीय विद्यालय संगठन भारत सरकार के शिक्षा मन्त्रालय के अन्तर्गत एक स्वायत्तशासी संगठन है।  हमारे देश में स्थानान्तरणीय पदों पर कार्यरत कर्मचारियों के बच्चों को समान स्तर, समान पाठ्यक्रम एवं समान माध्यम की शिक्षा उपलब्ध कराने का कार्य सर्वप्रथम केन्द्र सरकार के रक्षा विभाग ने किया। उसने रक्षा विभाग में कार्यरत कर्मचारियों के बच्चों के लिए मिलिट्री मुख्यालयों पर रेजीमेन्ट स्कूलों की स्थापना की। 1963-64 में इन स्कूलों की संख्या 20 थी। 1965 में केन्द्रीय सरकार ने स्थानान्तरणीय पदों पर कार्यरत समस्त केन्द्रीय कर्मचारियों के बच्चों के लिए इस प्रकार के विद्यालय स्थापित करने का निर्णय लिया। उसने सर्वप्रथम तत्कालीन 20 रेजीमेन्ट स्कूलों' को शिक्षा विभाग के अन्तर्गत लिया, उन्हें सेन्ट्रल स्कूल (Central School) का नाम दिया और उन्हें केन्द्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (CBSE) से सम्बद्ध किया और उनमे स्थानान्तरणीय पदों पर कार्यरत समस्त केन्द्रीय कर्मचारियों के बच्चों को प्रवेश की अनुमति प्रदान की। कुछ समय बाद सेना मुख्यालयों के साथ-साथ जिला मुख्यालयों पर भी सेन्ट्रल स्कूल स्थापित करने शुरू किए आगे चलकर इन्हें केन्द्रीय विद्यालयों का नाम दिया गया और इनकी सम्पूर्ण व्यवस्था के लिए सरकार ने 'केन्द्रीय विद्यालय संगठन' (Kendriya Vidyalaya Sangthan) का गठन किया। 

संगठनात्मक संरचना (Organizational Structure) -

केन्द्रीय विद्यालय संगठन का प्रशासनतन्त्र तीन स्तरों में विभाजित है- केन्द्रीय स्तर,  क्षेत्रीय स्तर और स्थानीय स्तर। 

केन्द्रीय स्तर पर मुख्य  दो निकाय हैं- 

1. सामान्य निकाय (General Body) 

2. प्रशासनिक निकाय (Executive Body)

1. सामान्य निकाय (General Body) - 

चेयरमेन (Chairman)-   केंद्रीय शिक्षा मन्त्री   

डिप्टी चेयरमेन (Dupty Chairman)-  राज्यमन्त्री   

वाइस चेयरमेन (Vice Chairman)- मंत्रालय का वरिष्ठ अधिकारी (भारत सरकार  द्वारा नामित)

सदस्य -  केन्द्र के रक्षा, वित्त, निर्माण एवं स्वास्थ्य विभाग के प्रतिनिधि, लोकसभा के प्रतिनिधि एवं केन्द्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसंधान एवं प्रशिक्षण परिषद (NCERT) व राज्य सरकारों के प्रतिनिधि और जाने-माने शिक्षाविद होते हैं। इन सदस्यों में महिला सदस्य एवं अनुसूचित जाति एवं जनजाति सदस्य होने आवश्यक होते हैं।

2. प्रशासनिक निकाय (Executive Body)

इसमे 1 कमिश्नर, 2 जॉइन्ट कमिश्नर, 5 डिप्टी  और 3 एसिसटेन्ट कमिश्नर होते हैं। इसके प्रशासनिक कार्यों के सम्पादन के लिए  तीन समितियाँ  होती हैं-

(i) वित्त समिति (Finance Committee)-   वार्षिक बजट, वित्त लेखा और वित्त लेखा निरीक्षण   

(ii) निर्माण समिति (Work Committee) –  केन्द्रीय विद्यालयों के भवन निर्माण कार्य ।

(iii) अकादमिक सलाहकार समिति (Acadamic Advisory Committee) - विद्यालयों की शैक्षिक एवं सहशैक्षिक क्रियाओं के लिए उत्तरदायी।

क्षेत्रीय स्तर पर प्रशासन- 

•  क्षेत्रीय कार्यालय (Regional Offices)- 25
•  क्षेत्रीय शिक्षा और प्रशिक्षण संस्थान (Zonal Institute of Education and Training) - 5  (ग्वालियर, मुंबई , चंडीगढ़ , मैसूर एवं भुवनेश्वर )
• प्रत्येक क्षेत्रीय कार्यालय में 1 एसीसटेन्ट कमिश्नर  (क्षेत्रीय कार्यालय के मुख्य अधिकारी)   
• सहायता के लिए 3 शिक्षा अधिकारी और सपोर्टिंग स्टाफ। 
• क्षेत्रीय कार्यालयों पर अपने-अपने कार्यक्षेत्र (Jurisdiction) के केन्द्रीय विद्यालयों के नियन्त्रण का उत्तरदायित्व होता है। इनके सहयोग से केन्द्रीय कार्यालय अपने उत्तरदायित्वों को पूरा करता है और इन्हीं के सहयोग से केन्द्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (CBSE) केन्द्रीय विद्यालयों की कक्षा 10 व कक्षा 12 के बच्चों की परीक्षा का सम्पादन करता है।

स्थानीय स्तर पर  प्रशासन-

• प्रत्येक केन्द्रीय विद्यालय की एक विद्यालय प्रबन्ध समिति (School Management Committee) है। 
• स्थानीय जिलाधिकारी (DM) इस समिति का पदेन अध्यक्ष होता है। सदस्यों में विद्यालय का प्रधानाचार्य, शिक्षक प्रतिनिधि और स्थानीय शिक्षाविद होते हैं। यह समिति विद्यालय के आन्तरिक मामलों के लिए उत्तरदायी होती है।

उद्देश्य (Objectives)-

1. केन्द्र सरकार में स्थानान्तरणीय पदों पर कार्यरत समस्त कर्मचारियों के बच्चों को देश के किसी भी भाग में समान पाठ्यक्रम एवं समान माध्यम की माध्यमिक शिक्षा सुलभ कराना है जिससे उनकी शिक्षा में कोई बाधा न आए।

2. केन्द्रीय विद्यालयों में नवाचारों (Innovations) को प्रोत्साहित करना।

3. केन्द्रीय विद्यालयों को उत्कृष्ट विद्यालयों (Schools of Excellence) के रूप में विकसित करना ।

4. उत्तम प्रकार की शिक्षा की व्यवस्था कर बच्चों का सर्वांगीण विकास करना ।

5. राष्ट्रीय एकता का विकास करना।

कार्य (Functions)-

1. समय-समय पर आवश्यकतानुसार नीति निर्धारित करना । 

2. वार्षिक बजट बनाना और भिन्न-भिन्न मदों के लिए धन राशि निश्चित करना ।

3. मौजूदा केन्द्रीय विद्यालयों की आवश्यकताओं की पूर्ति करना । 

4. आवश्यकतानुसार सेना मुख्यालयों एवं जनपद मुख्यालयों पर नए केन्द्रीय विद्यालयों की स्थापना करना। 

5. केन्द्रीय विद्यालयों के लिए प्रधानाचार्यों एवं शिक्षकों का चयन करना। 

6. केन्द्रीय विद्यालयों के उपप्रधानाचार्यो एवं शिक्षकों की पदोन्नति करना। नए पद सृजन होने पर 25% पदों पर पदोन्नति की जाती है और 75% पदों पर नई नियुक्तियाँ की जाती हैं। पदोन्नति एवं नियुक्तियाँ क्षेत्रीय स्तर पर की जाती हैं।

7. केंद्रीय विद्यालयों के प्रधानाचार्य एवं शिक्षकों का स्थानांतरण करना।

8. केंद्रीय विद्यालयों के प्रशासनिक, शैक्षिक एवं सहशैक्षिक क्रियाकलापों पर नियंत्रण रखना।

9. छात्र- छात्राओं की वार्षिक परीक्षा CBSE द्वारा सम्पन्न करना और प्रमाण पत्र देना।

माध्यमिक शिक्षा के क्षेत्र में योगदान (Contribution  in the field of Secondary Education)

1. यह संगठन पूरे देश में केन्द्रीय विद्यालयों की स्थापना कर स्थानान्तरणीय पदों पर कार्यरत केन्द्रीय कर्मचारियों के बच्चों के लिए समान पाठ्यक्रम एवं समान माध्यम की माध्यमिक शिक्षा उपलब्ध करा रहा है।

2. यह  केन्द्रीय विद्यालयों में कक्षा 6 से 9 तक संस्कृत का अध्ययन अनिवार्य कर राष्ट्रीय स्मिता की रक्षा कर रहा है।

3. यह  केन्द्रीय विद्यालयों में सहशिक्षा की व्यवस्था कर अन्य माध्यमिक विद्यालयों को मार्गदर्शन प्रदान कर रहा है।

4. केन्द्रीय विद्यालयों में शिक्षा का माध्यम एक साथ क्षेत्रीय भाषाओं और अंग्रेजी को बनाकर इसकी सम्भावनाओं को स्पष्ट कर रहा है।  

5. केन्द्रीय विद्यालयों में नवाचारों को प्रोत्साहित कर देश के अन्य माध्यमिक विद्यालयों का मार्गदर्शन कर रहा है।

6. केंद्रीय विद्यालयों में सतत एवं व्यापक मूल्यांकन (Continuous and Comprehensive Evaluation) प्रणाली लागू कर परीक्षाफल घोषित करके देश के अन्य माध्यमिक विद्यालयों एवं माध्यमिक शिक्षा बोर्डों का मार्गदर्शन कर रहा है।

राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसंधान एवं प्रशिक्षण परिषद (National Council of Educational Research and Training- NCERT)

गणित में भास्कराचार्य का योगदान (Contribution of Bhaskaracharya in Mathematics )

 गणित में भास्कराचार्य प्रथम का योगदान (Contribution of Bhaskaracharya -I  in Mathematics )

 जन्म-  लगभग 600 ईस्वी के आसपास

भास्कर प्रथम भारत  के सातवीं शताब्दी के गणितज्ञ थे। संभवतः उन्होने ही सबसे पहले संख्याओं को हिन्दू दाशमिक पद्धति में लिखना आरम्भ किया। उन्होंने आर्यभट्ट की कृतियों पर टीका लिखी और उसी सन्दर्भ में ज्या य (sin x) का परिमेय मान बताया जो अनन्य एवं अत्यन्त उल्लेखनीय है। आर्यभटीय पर उन्होने सन् 629 में  आर्यभटीयभाष्य नामक टीका लिखी जो संस्कृत गद्य में लिखी गणित एवं खगोलशास्त्र की प्रथम पुस्तक है। आर्यभट्ट की परिपाटी में ही उन्होने महाभास्करीय एवं लघुभास्करीय नामक दो खगोलशास्त्रीय ग्रंथ भी लिखे। 

योगदान  (Contribution) - 

• भास्कर ने पहले ही इस दावे पर विचार किया है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो 1 + ( p -1)! p से विभाज्य है । 

• महाभास्करीय में आठ अध्याय हैं। सातवें अध्याय के श्लोक 17, 18 और 19 में उन्होने sin x का सन्निकट मान (approximate value) निकालने का निम्नलिखित सूत्र दिया है-

इस सूत्र को उन्होने आर्यभट्ट द्वारा दिया हुआ बताया है। इस सूत्र से प्राप्त ज्या  के मानों का आपेक्षिक त्रुटि 1.9% से कम है। (अधिकतम विचलन  जो  पर होता है।)

• भास्कर ने आज के प्रचलित पेल समीकरणों (Pell's Equations) के समाधान के बारे में प्रमेयों को बताया । 

गणित में भास्कराचार्य द्वितीय का योगदान (Contribution of Bhaskaracharya -II in Mathematics )

जन्म -   1114 ई० में सहस्त्रादि पर्वत के पास बिजदा बिदा (Bijjada bida) नामक गांव में पैदा हुये थे। यह गांव किस प्रान्त में स्थित है इसके बारे में विद्वानों में काफी मतभेद है परन्तु अधिक विद्वान् बिजदा बिदा को वर्तमान बीजापुर (मैसूर प्रान्त) ही मानने के पक्ष में हैं।

पुस्तक -  सिद्धांत शिरोमणि , करणकौतूहल, समय सिद्धांत शिरोमणि, गोलाध्यायरसगुण और सूर्यसिद्धांत।

इनका प्रमुख ग्रंथ सिद्धान्त शिरोमणि है जिसकी रचना 1150 ई0 में की  गयी। ‘सिद्धान्त शिरोमणि' ग्रंथ को चार खण्डों या अध्यायों में बांटा गया है। ये खण्ड हैं: 

1. लीलावती
2. बीजगणित
3. गोलाध्याय 
4. ग्रहगणित 

भास्कराचार्य ने प्रथम खण्ड का जो अंकगणित से सम्बन्धित है। यह पुस्‍तक लीलावती नामक स्‍त्री को सम्‍बोधित है।  भास्‍कराचार्य ने अपनी पुस्‍तक में कहीं पर लीलावती को ‘सखी’ कहकर सम्‍बोधित करते हैं, कहीं ‘प्रिये’ तो कहीं ‘बाले’। इससे कहीं भी यह पता नहीं चलता है कि लीलावती से उनका क्‍या सम्‍बंध था?

योगदान  (Contribution) - 

1. भास्कराचार्य ही विश्व के प्रथम गणितज्ञ थे जिन्होंने किसी संख्या को भाग देने पर परिणाम में अनन्त (Infinity) की कल्पना की। इसके बारे में वे लिखते है कि - " जिस प्रकार अनन्त और अच्युत ईश्वर में, प्रलय के समय बहुत से भूतगणों का प्रवेश होने से अथवा सृष्टि के समय उनके निकल जाने से, कोई विकार नहीं होता उसी प्रकार इस शून्य हर वाली राशि में बहुत बड़ी संख्या को भी जोड़ने अथवा घटाने पर कोई परिवर्तन नहीं होता।” 

a/0    =  ∞

∞ + a    = ∞

∞ - a    = ∞

2. क्षेत्रमिति ( Mensuration) के क्षेत्र में भी भास्कर का काफी योगदान है। उन्होंने विभिन्न क्षेत्रों के क्षेत्रफल और घनफल के सम्बन्ध में बहुत ही महत्वपूर्ण सूत्र दिये हैं। 

उदा0- 

गोले का क्षेत्रफल = 4 x वृत्त का क्षेत्रफल

गोले का घनफल = गोले का क्षेत्रफल * 1/ 6 * व्यास

3. जिस विषय को आज Permutation and Combination के नाम से जानते हैं उस पर भी भास्कर ने अपनी लेखनी उठायी थी। उन्होंने अपने ग्रंथों में इसका नाम अंक पाश' दिया है।  इस विषय पर उनके द्वारा खोजे गये एक सिद्धान्त को तो हम आज तक भी काम में ला रहे हैं। इसका प्रचलित रूप इस प्रकार का है।

r  वस्तुओं की क्रमचय संख्या = r!/ k! l!

4. करणी (Surds) के बारे में भी भास्कराचार्य को अच्छा ज्ञान था जैसा कि उनके ग्रंथों में पाये जाने वाली निम्न प्रकार की समस्याओं से स्पष्ट होता है।

Ex. - एक त्रिभुज की भुजायें √13 और √5 हैं अगर उसका क्षेत्रफल 4 है तो आधार की लम्बाई बताओ।

5. घन समीकरण (Cubic Equations) और द्वि-वर्गात्मक समीकरणों (Biquadratic Equations) का भी विवरण भास्कर के ग्रंथों में पाया जाता है।

x2 + 12x = 6x2 + 35 

 x4 - x2 - 400x = 100

जैसी द्वि-वर्गात्मक समीकरणों का पूर्ण हल सहित 'सिद्धान्त शिरोमणि' के द्वितीय अध्याय बीजगणित में पाया जाता है। 

6. डिफ़रेंशियल केलकुलस (Differential Calculus) के क्षेत्र में भी भास्कराचार्य ही विश्व के प्रथम गणितज्ञ थे जिन्होंने Differential Coefficient से सम्बन्धित उदाहरण प्रस्तुत किये।

7. रौल्स प्रमेय (Rolle's Theorem) के आधारभूत तत्वों को भी भास्कराचार्य ने ही जीवन दिया है। 

8.  त्रिकोणमिति (Trigonometry ) के क्षेत्र में भी इनका काफी योगदान है। 

Ex.  - 

• sin (A + B)=sin A cos B± cos A sin B

• sin (A- B /2) = 1/2  [(sin A + sin B) 2+ (cos A cos B)²]1/2

9.  पृथ्वी के गोल होने का प्रमाण देते हुये वे 'गोलाध्याय' में लिखते हैं- “गोले की परिधि का सौवां भाग एक सीधी रेखा प्रतीत होती है। हमारी पृथ्वी भी एक विशाल गोला है, मनुष्य को उसकी परिधि का एक बहुत ही छोटा भाग दिखाई देता है, इसलिए यह चपटी दिखाई देती है।"

10. इसी प्रकार न्यूटन के बहुत पहले भास्कराचार्य को गुरुत्वाकर्षण शक्ति का ज्ञान हो चुका था। इसे उन्होंने धारणिकात्मक शक्ति कहा है। वे लिखते हैं- “पृथ्वी अपनी आकर्षण शक्ति के जोर से सब वस्तुओं को अपनी ओर खींचती है इसलिये सभी पदार्थ इस पर गिरते हुये दृष्टिगोचर होते हैं।"