गणित का इतिहास (History of Mathematics)

 भारतीय गणित का शुभारम्भ 'ऋग्वेद' से हुआ है। इसका इतिहास मुख्य रूप से पाँच कालखण्डों में विभाजित किया  है-

1. आदिकाल (500 ई० पू० तक)

(A) वैदिक काल (1000 ई० पू० तक) 

(B) उत्तर वैदिक काल (1000 ई० पू० से 500 ई० पू० तक)

• शुल्य एवं वेदांग ज्योतिष काल
•  सूर्य प्रज्ञाप्तिकाल

2. पूर्व मध्यकाल (500 ई० पू० से 400 ई० पू० तक) 

3. मध्यकाल (400 ई० पू० से 1200 ई० तक)

4. उत्तर मध्यकाल (1200 ई० से 1800 ई० तक) 

5. वर्तमान काल (1800 ई० के पश्चात्)

आदिकाल (500 ई० पूर्व तक) 

यह काल भारतीय गणित के इतिहास में अति महत्वपूर्ण काल है। इस काल में  अंकगणित (Arithmetic),  रेखागणित  (Geometry)  बीजगणित (Algebra) का विकास हुआ।  

(A) वैदिक काल (1000 ई० पूर्व तक) - 

• इस काल में शून्य तथा दशमलव स्थान मान पद्धति (Decimal place value method) का अविष्कार हुआ। यह गणित की अद्भुत देन है। शून्य एवं दाशमिक स्थानमान पद्धति का महत्व इस  ओर  परिलक्षित करता है कि आज यह पद्धति सम्पूर्ण विश्व में प्रचलित है तथा इसके आविष्कार ने ही गणित को प्रखर शिखर पर पहुँचाया है।
• महर्षि वेदव्यास द्वारा रचित  ‘नारद-विष्णु पुराण' के पूर्व भाग के द्वितीय पाठ में, त्रिस्कन्ध ज्योतिष के वर्णन में गणित का प्रतिपादन हुआ जिसमें एक (10० ), दश, शत, सहस्त्र अयुत (दस हजार), लक्ष (लाख), कोटि (करोड़), अर्बुद (दस करोड़), अब्ज (अरब), खर्ब (दस अरब), निखर्ब (खरब), महापद्म (दस खरब), शंकु (नील), जलधि (दस नील), अन्त्य (पद्म), पराध (शंख जो 10 के घात 17  के मान के बराबर है) इत्यादि संख्याओं के बारे में बताया गया है।
• दशामिक स्थानमान पद्धति भारत से अरब गयी और अरब से पश्चिमी देशों में पहुंची। इसी कारण से अरब के लोग 1 से 9 तक के अंकों को 'हिन्दसा' कहते हैं तथा पश्चिमी देशों में  0 - 9 तक के अंकों को 'हिन्दू-अरबीक न्यूमरल्स' (Hindu-Arabic  Numerals) कहा जाता है।

(B) उत्तर वैदिक काल (1000 ई० पू० से 500 ई० पू० तक) -

(i) शुल्व एवं वेदांग ज्योतिष काल-

शुल्व से तात्पर्य रस्सी से है, वह रस्सी जो यज्ञ की वेदी बनाने के लिये माप में काम आती थी।  शुल्व सूत्रों में रेखा गणित के सूत्रों का विकास एवं विस्तार उपलब्ध है। इस काल में तीन सूत्रकारों का नाम  उल्लेखनीय है -  बौधायन, आपस्तम्ब एवं कात्यायन ।

• बौधायन शुल्व सूत्र (1000 ई० पू०) को आज पाइथागोरस प्रमेय के नाम से जाना ने जाता है।  
• बौधायन ने दो वर्गों के योग व अन्तर के बराबर वर्ग बनाने की विधि दी है तथा √2 का मान दशमलव के पाँच स्थानों तक निकालने का  सूत्र भी दिया है।

            √2 = 1 + 1/3 + 1/3*4 - 1/3*4*34 = 1.41421

(ii) सूर्य प्रज्ञाप्ति काल- 

• इस काल की प्रमुख कृतियाँ-  सूर्य प्रज्ञाप्ति तथा चन्द्र प्रज्ञाप्ति (500 ई० पू०) । जो जैन धर्म के प्रसिद्ध ग्रन्थ हैं। 
• सूर्य प्रज्ञाप्ति में दीर्घवृत्त का उल्लेख मिलता है। जिस परिमंडल के नाम से जाना जाता है। 
• भगवती सूत्र (300 ई० पू०) में भी परिमंडल शब्द दीर्घवृत्त के लिए प्रयुक्त हुआ है, जिसके दो प्रकार बताये गये हैं- पहला प्रतर-परिमण्डल व दूसरा घन परिमण्डल |
• बौद्ध साहित्य में गणित को दो भागों बाँटा गया-

         (i) गणना (साधारण गणित)  

        (ii) संख्यान (उच्च गणित) 

• संख्याओं का वर्णन तीन रूपों में किया-

          (i)  संख्येय (Countable), 

          (ii) असंख्येय (Uncountable) 

          (iii) अनन्त (Infinity) 

 पूर्व मध्यकाल (500 ई० पू० - 400 ई० तक)

• इस युग के प्रमुख ग्रन्थों में वक्षाली गणित, सूर्य सिद्धान्त, गणितयोग, स्थानांग सूत्र, भगवती सूत्र व अनुप्रयोग द्वार सूत्र मुख्य हैं।  
• वक्षाली गणित में अंकगणित की मूल संक्रियाऐं, दाशमिक अंकलेखन पद्धति पर लिखी हुई संख्याऐ, भिन्न, परिकर्म (योग, अन्तर, गुणन, भजन, वर्ग, वर्गमूल, घन और घनमूल), वर्ग, घन, व्याजरीति आदि का विस्तृत वर्णन है। 
• स्थानांग सूत्र में 5 प्रकार के अनन्त की एवं अनुयोगद्वार में 4 प्रकार के प्रमाण (measure) बताये गये हैं।
• सूर्य सिद्धान्त में वर्तमान त्रिकोणमिति का विस्तृत वर्णन मिलता है। इसमें   ज्या (Sine), कोटिज्या (cosine) आदि का मान दिया गया है।
• भारतीयों ने जमा, घटा (धन व ऋण) चिह्नों का विकास किया। 
• अंकगणित की तरह बीजगणित भी भारत से अरब पहुँचा, वहाँ के गणितज्ञ 'अलख्वारीज्यी' ने अपनी पुस्तक 'अलजब्र' एवं 'अल-मुकाबला' में भारतीय बीजगणित पर आधारित विषय का प्रतिपादन किया। इनकी इस पुस्तक के नाम पर ही इस विषय का नाम 'अलजेब्रा' (Algebra) पड़ा।
• भगवती सूत्र में  n प्रकारों में से 1-1, 2-2 प्रकारों को एक साथ लेकर जो युग्म (Combination) बनते हैं उन्हें एकक , द्विक संयोग आदि कहा गया है जिनका मान n, n(n-1)/2 आदि बताया गया है।

मध्यकाल (400 ई० से 1200 ई० तक)

• मध्यकाल को भारतीय गणित का स्वर्ण-युग कहा जाता है, क्योंकि इस काल में ऐसे महान गणितज्ञ हुये, जिन्होंने गणित की सभी शाखाओं को ज्ञात किया। 

•  इस काल के कुछ प्रमुख गणितज्ञ भास्कर प्रथम, आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त, श्रीपति मिश्र, नेमीचन्द्र सिद्धान्त चक्रवर्ती  , महावीराचार्य आदि हैं।

• आर्यभट्ट प्रथम (499 ई०) ने अपनी  पुस्तक 'आर्यभट्टीय' में 332 श्लोकों में गणित के महत्वपूर्ण मूलभूत सिद्धान्तों को दिया है। रेखागणित के क्षेत्र में इन्होंने का π का  मान चार स्थानों तक 3.1416 ज्ञात किया। 

• भास्कर प्रथम (600 ई०) ने प्रसिद्ध ग्रन्थ 'महाभास्करीय', 'आर्यभट्टीय ''भाष्य' और 'लघु भास्करीय' दिए हैं जिनमें आर्यभट्ट द्वारा प्रतिपादित सिद्धान्तों को विकसित किया गया।

• ब्रह्मगुप्त (628 ई०) ने अपना प्रसिद्ध ग्रन्थ 'ब्रह्मस्फुट सिद्धान्त' दिया। इन्होंने बीजगणित के समीकरण साधनों के नियमों का उल्लेख किया तथा अनिर्णीत द्वि-घातीय समीकरण  (Undecidable quadratic equation) का समाधान भी बताया जिसे आयलर ने 1764 में, लांग्रेज ने 1768 ई० में प्रतिपादित किया।

• श्रीधराचार्य (850 ई०)  ने अंकगणित पर नवशतिका तथा त्रिशतिका, पाटी गणित और बीजगणित पुस्तकों की रचना की। इनका द्विघात समीकरण हल करने का सूत्र जो "श्रीधराचार्य विधि” कहलाता है, आज भी व्यापक रूप से प्रयोग में लाया जाता है। इनकी पुस्तक 'पाटी गणित' का अनुवाद अरब में 'हिसाबुल तरब्त' नाम से हुआ।

• महावीराचार्य (850 ई०)  ने 'गणितसार संग्रह' नामक अंकगणित के वृहत् ग्रन्थ की रचना की।

• श्रीपति मिश्र (1039 ई०) ने 'सिद्धान्त शेखर' एवं 'गणित तिलक' (आज्ञात राशियों  के सम्बन्ध में) की रचना की। 

• भास्कराचार्य द्वितीय (1114 ई०)  ने प्रसिद्ध ग्रन्थ 'सिद्धान्त शिरोमणि' तथा 'करण कुतूहल को दिया है।  वेदों में इनके सूत्रों को आधार मानकर वैदिक गणित की आधुनिक कृतियों में किया जा रहा है। 

• लीलावती में संख्या पद्धति को आधुनिक  अंकगणित व बीजगणित की रीढ मानी जाती है।

उत्तर मध्यकाल (1200 ई० से 1800 ई० तक)

• प्राचीन ग्रंथों पर टीकाएँ (Comments) लिखना इस काल की मुख्य देन  है ।
• केरल के गणितज्ञ नीलकण्ठ ने 1500 ई० में एक पुस्तक में ज्या r (sin r) का मान ज्ञात किया-

ज्या r (Sin r) =  r -  r ³ / 3   +    r ⁵  / 5  -. ............

मलयालम पाण्डुलेख “मुक्तिभास" में भी यह सूत्र दिया गया है, जिसे आज हम ग्रेगरी श्रेणी के नाम से जानते हैं।

• नारायण पण्डित (1356) ने अंकगणित पर "गणितकौमुदी" (गणितीय संक्रियाओं, मैथेमैटिकल ऑपरेशन्स से सम्बंधित) नामक एक वृहत् ग्रन्थ की रचना की। इसमें अनेक विषयों का प्रतिपादन किया गया है, जिसमें क्रमचय-संचय (Permutation), अंक विभाजन (Partition of Numbers) तथा मायावर्ग (Magic squares) प्रमुख हैं।  
• नीलकण्ठ (1587 ई०) ने “ताजिकनीलकण्ठी" नामक ग्रन्थ की रचना की जिसमें ज्योतिष गणित का प्रतिपादन किया गया है।
• कमलाकर (1608 ई०) ने सिद्धान्त-तत्व विवेक नामक ग्रन्थ की रचना की।
• सम्राट जगन्नाथ (1731 ई०) ने “सम्राट सिद्धान्त” तथा “रेखागणित" नाम की दो पुस्तकें लिखीं। रेखागणित की वर्तमान शब्दावली अधिकांशतः इसी पुस्तक पर आधारित है।

वर्तमान काल (1800 ई० के पश्चात्) 

• नृसिंह बापू देव शास्त्री (1831 ई० ) ने भारतीय एवं पाश्चात्य गणित पर पुस्तकों का सृजन किया। इनकी पुस्तकों में रेखागणित, त्रिकोणमिति, सायनवाद तथा अंकगणित मुख्य हैं।

• सुधाकर द्विवेदी ने दीर्घ वृत्त लक्षण, गोलीय रेखागणित, समीकरण मीमांसा, चलन-कलन आदि अनेक पुस्तकों की रचना की। साथ ही ब्रह्मगुप्त एवं भास्कर की पुस्तकों पर टीकाएं लिखकर सामान्य जनता के लिये सुलभ कराया।

• रामानुजम (1889 ई०)  सूत्र रूप में गणित एवं अन्य सिद्धान्तों को लिखने व सिद्ध करने की वैदिक परम्परा के आधुनिक युग के महान् गणितज्ञ हैं। उनके द्वारा प्रतिपादित 50 प्रमेयों में से एक-दो को सिद्ध करने से ही गणितज्ञों एवं शोध कर्त्ताओं . को वर्ष पर्यन्त दत्तचित्त होकर परिश्रम करना पड़ा। कुछ प्रमेय अभी तक सिद्ध नहीं किये जा सके हैं। इनकी कृति “रामानुज डायरी" शीर्षक से प्रकाशित हुई हैं।

• महान् गणितज्ञ एवं दार्शनिक जगद्गुरु शंकराचार्य भारती कृष्णतीर्थ (1884-1960 ई०) आधुनिक युग में वैदिक गणित के प्रधान भाष्यकार हैं। इन्होंने अपनी पुस्तक "वैदिक गणित" में वैदिक सूत्रों पुनः प्रतिपादित किया है और उनमें निहित सिद्धान्त और विधियों को इतनी सरल, सुग्राह्य एवं सुस्पष्ट (simple, intelligible and clear) भाषा में प्रस्तुत किया है कि गणित का एक साधारण विद्यार्थी भी उसे आत्मसात (assimilation) कर गणित के जटिलतम प्रश्नों को अत्यल्प समय में हल कर सकता है। है। इन्होंने हमें सर्वथा नवीन दृष्टि देकर वैदिक गणित पर शोध करने तथा उसका उपयोग करने के लिये विवश कर दिया है।

 

विद्यालय पाठ्यक्रम में  गणित का महत्व (Importance of Mathematics in School Curriculum) 

प्राचीन काल से ही गणित को हमारे देश में एक विषय के रूप में महत्व दिया जाता रहा है। प्राचीन काल से ही विद्यालयों में गणित शिक्षण की प्रभावशाली व्यवस्था की जाती रही है। वर्तमान में भी गणित का हमारे दैनिक जीवन से घनिष्ठ सम्बन्ध है।  वर्तमान काल में गणित को विद्यालय पाठ्यक्रम में विशेष महत्व देने के लिए गणित विषय को सामान्यतः निम्न दृष्टिकोणों से देखा जाता है-

1. दैनिक जीवन में उपयोगी (Useful in Daily Life)-  

वर्तमान समय विज्ञान का युग है और प्रत्येक स्थान या जगह पर हमें प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से गणित का उपयोग करना पड़ता है।  दैनिक जीवन में घर में, बाहर बाजार, दुकान, आय-व्यय में, बैंक ब्याज आदि क्रय-विक्रय में गणित को ही आधार बनाया जाता है। लौकिक, वैदिक तथा सामाजिक जो आधार हैं, उन सबमें गणित का उपयोग है इसलिये विद्यालय में बालकों को प्रारम्भ से ही, प्रारम्भिक गणित का ज्ञान कराया जाये तो वे अपने दैनिक जीवन और अनुभवों को समझने और समझाने में सक्षम रहेंगे।

2. आर्थिक एवं सामाजिक प्रगति में उपयोगी (Useful in Progress of Economical & Social)-  

हमारी वर्तमान आर्थिक व सामाजिक सभ्यता विज्ञान की ही देन है और विज्ञान का आधार गणित है। जब तक बालक को गणित का ज्ञान नहीं होगा तब तक वह विज्ञान के बारे में विस्तृत जानकारी हासिल नहीं कर सकेगा। गणित के बिना  विज्ञान में भी प्रगति होना असम्भव है। इस कारण से यह कह सकते हैं कि गणित हमारी इस आधुनिक प्रगति, विकास और सभ्यता के भवन का स्तम्भ रूप है जिसको हटा लेने से वर्तमान सभ्यता, वैज्ञानिक प्रगति और समृद्धि का भवन निश्चित रूप से गिर जायेगा।

3. बालकों के मानसिक अनुशासन बनाने में उपयोगी (Useful in making of mental discipline in Children)-

गणित का ज्ञान विद्यार्थियों के मस्तिष्क को अनुशासित करने में सहायक होता है। जब विद्यार्थी गणित के प्रश्न को हल करने का प्रयास करता है, तो उसे अपने मन को एकाग्र करना होता है। मन की एकाग्रता मानसिक अनुशासन उत्पन्न करने में सहायक होती है। इससे बालक में उत्पन्न जिज्ञासायें सन्तुष्ट होकर शान्त हो जाती हैं। गणित का अध्ययन बालक को विवेकी, आत्म-विश्वासी, तर्क-वितर्क शक्ति युक्त बनाता है। 

4. स्पष्ट भाव प्रकाशन में उपयोगी (Useful thoughts helpful in Publication)–

हम अपने विचारों, भावों को भाषा के माध्यम से ही किसी दूसरे के सामने  रखते हैं। गणित विषय की भी एक भाषा होती है, जिसका निर्माण प्रतीकों के द्वारा होता है। गणित भाषा को शुद्ध व स्पष्ट बनाता है। जब हम यह कहते हैं कि 'अमुक स्थान बहुत दूर है' तो इसका अर्थ उसकी दूरी से होता है और दूरी ज्ञात करने के लिये हमें गणित का सहारा लेना पड़ता है। उसके द्वारा ही हम यह ज्ञात कर पाते हैं कि वह स्थान कितनी दूर है। .एच० सी० वैश्य ने इसको स्पष्ट करते हुए कहा है कि, “गणित भाषा का दूसरा रूप है, क्योंकि साधारण भाषा की अपेक्षा उसमें प्रयुक्त व्यंजना अधिक शुद्ध और सूक्ष्म होती है।

5. बालकों के चरित्र निर्माण में उपयोगी (Useful in Character building of Children) - 

कुछ विद्वानों ने कहा है कि  गणित विद्यार्थियों के चरित्र निर्माण में सहायक होता है। गणित एक ऐसा विषय है, जिसमें अशुद्धता का कोई स्थान नहीं होता है अर्थात् गणित किसी झूठ, फरेब, आडम्बर आदि को कोई स्थान नहीं देता है। गणित के द्वारा ही विद्यार्थियों को सत्य का ज्ञान होता है  व सत्य की ओर आकर्षित होकर उनमें नैतिकता का विकास होता है, जो बालक के चरित्र निर्माण में उपयोगी सिद्ध होता है।

6. सांस्कृतिक समृद्धि के विकास में उपयोगी (Useful in the development of Cultural Growth)-

गणित को सांस्कृतिक समृद्धि के विकास की आधारशिला माना जाता है। हागवेन (Hagven) ने गणित को सभ्यता का दर्पण कहा है। (Mathematics is the mirror  of culture.) यदि हम अपनी सभ्यता के बारे में मनन करते हैं तो उसके द्वारा हमें यह पता चलता है कि मानव संस्कृति एवं गणित का विकास लगभग साथ-साथ ही हुआ है। इनकी समुचित जानकारी के लिये हमारे लिये गणित का ज्ञान करना अति आवश्यक हो जाता है। 

7. तर्क संगत, क्रमबद्ध एवं व्यवहारिक गुणों का समावेश एवं उनके विकास में उपयोगी (Useful the development of absorption and Logical Systematical and Behavioural Virtues)—

अध्यापक, विद्यार्थी को गणित शिक्षण को सोचने, समझने, विचारने, तार्किक ढंग से सोचने तथा तथ्यात्मक ढंग से हल खोजने के लिये प्रेरित करता है। जब विद्यार्थी का मस्तिष्क क्रियाशील होता है, तो उसमें अनेक विचार, तर्क, विश्लेषण और उस समस्या पर विवेचना करने की क्रियाएँ स्वतः ही उसके मस्तिष्क में संचालित हो जाती हैं। इस प्रकार की क्रियाओं से विद्यार्थी का बौद्धिक विकास होता है। उसमें तर्क-वितर्क करने, तुलना करना एवं स्वयं निर्णय करने की क्षमता उत्पन्न होती है जिससे उसके मस्तिष्क को शक्ति प्राप्त होती है। और जब उसका मस्तिष्क परिपक्व हो जाता है तथा वह स्वयं ही क्रियाएँ करने लगता है।

गणित का अर्थ, परिभाषा एवं प्रकृति (Meaning, Definitions and Nature of Mathematics)

 

 गणित का अर्थ (Meaning of Mathematics)

'गणित' शब्द बहुत प्राचीन है तथा वैदिक साहित्य में इसका बहुतायत से उपयोग किया गया है। गणित शब्द का शाब्दिक अर्थ है, “वह शास्त्र  या विद्या जिसमें गणना की प्रधानता हो।" इस प्रकार गणित के सम्बन्ध में दी गयी मान्यताओं के आधार पर हम कह सकते हैं कि गणित, अंक, अक्षर, चिन्ह आदि संक्षिप्त संकेतों का वह विधान है जिसकी सहायता से परिमाण (Magnitude), दिशा (Direction) तथा स्थान (Space) का बोध होता है। 

गणित विषय का प्रारम्भ गिनती से ही हुआ है और संख्या पद्धति (Number of System) इसका एक विशेष क्षेत्र है जिसकी सहायता से गणित की अन्य शाखाओं का विकास किया गया है । 

गणित मानव जीवन का एक गणनात्मक पक्ष (Quantitative aspect) है। जिसमें जीवन से संबंधित वस्तुओं के बारे में गणना करके उसके बारे में जानकारी प्राप्त की जाती है।  गणनात्मक पक्ष का आधार मात्रा एवं स्थान (Quantity and Space) है, जो मात्रात्मक संबंधों का प्रयोग समस्या समाधान के साथ करता है। यह विज्ञान की एक सुसंगठित , क्रमबद्ध एवं शुद्ध शाखा है। यह युक्तिसंगत तर्क की आंकिक समस्याओं का विज्ञान है।

परिभाषायें (Definitions)

गैलीलियो (Galileo) के अनुसार- गणित वह भाषा है जिसमें परमेश्वर ने संपूर्ण जगह या ब्रह्मांड को लिख दिया है (Mathematics is the language which God written Universe.) 

लौक (Locke) के अनुसार- "गणित वह है जिसके द्वारा बच्चों के मन या मस्तिष्क में तर्क करने की आदत स्थापित होती है। " (Mathematics is a way to settle the mind of children a habit of reasoning.)

गॉस (Gauss) के अनुसार- "गणित, विज्ञान की  रानी  है।"(Mathematics is the queen of the science.) 

बेल (Bell) महोदय के अनुसार- "गणित को विज्ञान का नौकर  माना जाता है। " (Mathematics is supposed to be the servant of Science.)

गिब्स (J. Willard Gibbs) के अनुसार- "गणित एक भाषा है। " (Mathematics is a language.)

बेकन (Bacon) अनुसार- गणित सभी विज्ञानों का मुख्य द्वार एवं कुंजी है।"(Mathematics is the gateway and  key to all sciences.)

होगबेन (Hogben) के अनुसार- "गणित सभ्यता और संस्कृति का दर्पण है। (Mathematics is the mirror of civilization.) 

उपरोक्त परिभाषाओं के विश्लेषण करने पर कहा जा सकता है कि- 

• गणित गणनाओं का विज्ञान है। (Mathematics is the science of calculations.)
• गणित विज्ञान का अमूर्त रूप है।(Mathematics is the abstract form of science.) 
• गणित ज्ञानेन्द्रियों का विकास है । (Mathematics is the development of sense organs.)
• गणित स्थान तथा संख्याओं का विज्ञान है । (Mathematics is the science of space and numbers.) 
• गणित विज्ञान की क्रमबद्ध, संगठित एवं यथार्थ शाखा है।(Mathematics is the systematised, organised and exact branch of science.)
• गणित तार्किक विचारों का विज्ञान है । (Mathematics is a science of logical reasoning.)  
• यह आगमनात्मक विज्ञान है ।(It is an inductive science.)
• गणित एक प्रायोगिक विज्ञान है। (Mathematics is a experimental science.) 
• गणित मात्रात्मक तथ्यों और सम्बन्धों का अध्ययन है।(Mathematics is the study of quantitative facts and relationship) 
• गणित में आवश्यक निष्कर्ष निकाले जाते हैं । (Mathematics is draws necessary conclusions.)

गणित की प्रकृति (Nature of Mathematics)

1. गणित में संख्यायें (Numbers), स्थान (Place), दिशा (Magnitude) तथा मापन या माप-तौल (Measurement) का ज्ञान प्राप्त किया जाता है।
2. गणित की अपनी भाषा (Language) है। भाषा का तात्पर्य-गणितीय पद (Mathematical terms), गणितीय प्रत्यय (Mathematical concepts), सूत्र (Formulae), सिद्धान्त (Principles) तथा संकेतों (Signs) से है जो कि विशेष प्रकार के होते हैं तथा गणित की भाषा को जन्म देते हैं ।
3. गणित के ज्ञान का आधार हमारी ज्ञानेन्द्रियाँ (Sense organs) हैं।
4. इसके ज्ञान का आधार निश्चित होता है जिससे इस पर विश्वास किया जा सकता है। 
5. गणित का ज्ञान यथार्थ (Exact), क्रमबद्ध (Systematic), तार्किक (Logical) तथा अधिक स्पष्ट (Clear) होता है, जिससे उसे एक बार ग्रहण करके आसानी से भुलाया नहीं जा सकता।
6. गणित में अमूर्त प्रत्ययों (Abstract concepts) को मूर्त रूप (Concrete form) में परिवर्तित किया जाता है, साथ ही उनकी व्याख्या भी की जाती है। 
7. गणित के नियम, सिद्धान्त, सूत्र सभी स्थानों पर एक समान होते हैं जिससे उनकी सत्यता की जाँच (Verification) किसी भी समय तथा स्थान पर की जा सकती है।
8. इसके अध्ययन में प्रत्येक ज्ञान तथा सूचना स्पष्ट होती है तथा उसका एक सम्भावित उत्तर निश्चित होता है। 
9. इसके विभिन्न नियमों, सिद्धान्तों, सूत्रों आदि में सन्देह (Doubts) की सम्भावना नहीं रहती है।
10. गणित के अध्ययन से आगमन (Induction), निगमन (Deduction) तथा सामान्यीकरण (Generalization) की योग्यता विकसित होती है।
11. गणित के अध्ययन से बालकों में आत्मविश्वास (Confidence) और आत्मनिर्भरता (Self Reliance) का विकास होता है।
12. इससे बालकों में स्वस्थ तथा वैज्ञानिक दृष्टिकोण (Scientific attitude) विकसित होता है। 
13. इसमें प्रदत्तों अथवा सूचनाओं (संख्यात्मक) को आधार मानकर संख्यात्मक निष्कर्ष (Numerical Inferences) निकाले जाते हैं।
14. गणित के ज्ञान का उपयोग (Application) विज्ञान की विभिन्न शाखाओं यथा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान तथा अन्य विषयों के अध्ययन में किया जाता है। 
15. गणित, विज्ञान की विभिन्न शाखाओं के अध्ययन में सहायक ही नहीं, बल्कि उनकी प्रगति तथा संगठन की आधारशिला है।

राज्य स्तर पर शैक्षिक प्रशासन  की संरचना (Structure of Educational Administration at State Level)

राज्यों का शैक्षिक प्रशासन भी तीन भागों में विभाजित है— 

1. मन्त्रालय (Ministry)

2. सचिवालय Secretariate) 

3. निदेशालय (Directorate)। 

शैक्षिक प्रशासन के कार्य (Functions of Educational Administration)-

1. शिक्षा मन्त्रालय (Education Ministry) - 

प्रत्येक राज्य में शिक्षा मन्त्रालय है। किसी राज्य में केवल एक शिक्षा मन्त्री है, किसी में दो और किसी में बेसिक शिक्षा, माध्यमिक शिक्षा और उच्च शिक्षा के लिए अलग-अलग तीन शिक्षा मन्त्री हैं। शिक्षा मन्त्रालय का मुख्य कार्य नीति निर्धारण है। जहाँ एक से अधिक शिक्षामन्त्री हैं, वे अपने-अपने विभाग के लिए नीति निर्धारण के लिए उत्तरदायी हैं। शिक्षा मन्त्री विधान सभा (Assembly) एवं विधान परिषद (Legislative Assembly) के लिए जवाबदेह है।

2. शिक्षा सचिवालय (Education Secretariate)– 

शिक्षा सचिव इसके मुख्य अधिकारी होते हैं। उनके आधीन उपसचिव और सहायक सचिव होते हैं। जिन राज्यों में एक से अधिक शिक्षा मन्त्री हैं उनमें अलग -अलग विभाग बेसिक, माध्यमिक और उच्च शिक्षा के लिए अलग-अलग उपसचिव होते हैं। शिक्षा सचिवालय राज्य द्वारा निश्चित शिक्षा नीति के क्रियान्वयन के लिए उत्तरदायी होता है। राज्य सरकार के सभी आदेश शिक्षा सचिव के नाम से ही निकाले जाते हैं। जहाँ आवश्यक होता है, यह विभाग सरकार को सलाह भी देता है।

3. शिक्षा निदेशालय (Education Directorate) - 

शिक्षा निदेशक इस विभाग के सर्वोच्च अधिकारी होते हैं। कुछ राज्यों में केवल एक ही शिक्षा निदेशक है और कुछ राज्यों में बेसिक शिक्षा, माध्यमिक शिक्षा और उच्च शिक्षा के लिए अलग-अलग निदेशक हैं और आवश्यतानुसार अतिरिक्त निदेशक एवं उपनिदेशक हैं। इस विभाग  का मुख्य कार्य राज्य में अपने-अपने क्षेत्र में शिक्षा की व्यवस्था करना और उसमें गुणात्मक उन्नयन (quality upgrade) करना है। यह विभाग सरकार और शिक्षा संस्थाओं को जोड़ने का कार्य करता है, सरकार को राज्य की शिक्षा प्रगति के विषय में सूचना देता है और उसे राज्य की शैक्षिक माँगों की जानकारी देता है। शिक्षा निदेशालय अपने कार्यों का निष्पादन क्षेत्रीय एवं जनपदीय शैक्षिक प्रशासनिक संगठनों के माध्यम से करता है ये शैक्षिक प्रशासकीय संगठन हैं

(i) क्षेत्रीय स्तर पर शैक्षिक प्रशासन (Educational Administration at Regional Level) 

राज्य का शिक्षा निदेशालय अपने कार्यों को सुचारु रूप से सम्पादित करने के लिए राज्य को कई क्षेत्रों में विभाजित करता है।  प्रत्येक क्षेत्र में एक-एक क्षेत्रीय बेसिक शिक्षा अधिकारी, एक-एक क्षेत्रीय माध्यमिक शिक्षा अधिकारी और एक-एक क्षेत्रीय उच्च शिक्षा अधिकारी नियुक्त हैं। ये सभी शिक्षा उपनिदेशक स्तर के अधिकारी हैं। ये क्षेत्रीय अधिकारी अपने-अपने शिक्षा निदेशालय के अन्तर्गत कार्य करते हैं और अपने-क्षेत्र में  क्षेत्र की शिक्षा  की व्यवस्था के लिए उत्तरदायी हैं। 

(ii) जनपदीय स्तर पर शैक्षिक प्रशासन (Educational Administration at District Level)-

प्रत्येक क्षेत्रीय शिक्षा कार्यालय से कई जिले जुड़े हैं। जिले स्तर पर प्रत्येक जिले में एक जिला बेसिक शिक्षा अधिकारी और एक माध्यमिक शिक्षा अधिकारी नियुक्त हैं। इनके अपने-अपने कार्यालय है। जिले की  बेसिक शिक्षा और माध्यमिक शिक्षा की व्यवस्था के लिए उत्तरदायी है।

(iii) विकास खण्ड स्तर पर शैक्षिक प्रशासन (Educational Administration at Development  Block Level)-

किसी भी राज्य के जिलों को जनसंख्या के आधार पर कई का विकास खण्डों में विभाजित किया गया है। इन विकास खण्डों में एक-एक शिक्षा समिति होती है जिसका प्रमुख  शिक्षा अधिकारी होता है। यह समिति अपने विभाग खण्ड की प्राथमिक एवं माध्यमिक शिक्षा व्यवस्था को देख-रेख के लिए उत्तरदायी होती है।

(iv) ग्राम पंचायत स्तर पर शैक्षिक प्रशासन (Educational Administrate at Gram Panchayat. Level) - 

प्रत्येक विकास खण्ड के अन्तर्गत कई ग्राम पंचायत होती है। इन ग्राम पंचायतों में एक शिक्षा समिति होती है जिसका मुखिया  ग्राम पंचायत प्रधान होता है। यह समिति अपने क्षेत्र की प्राथमिक शिक्षा की व्यवस्था के लिए उत्तरदायी होती है।

राज्यों में शिक्षा के क्षेत्र में सलाह देने एवं विशेष कार्यों का सम्पादन करने के लिए कुछ अन्य शैक्षिक प्रशासिक संस्थाओं का गठन भी किया जाता है। ये संस्थाएँ हैं-

(i) राज्य शिक्षा सलाहकार बोर्ड (State Advisory Board of Education, SABE)-  सरकार को शिक्षा से सम्बन्धित सभी विषयों पर अपनी सलाह देता है। 

(ii) राज्य शैक्षिक अनुसंधान एवं प्रशिक्षण परिषद (State Councils of Educational Research and Training, SCERT)-  स्कूली शिक्षा के सम्बन्ध में सरकार को सलाह देना , स्कूली शिक्षा का पाठ्यक्रम एवं पाठ्यपुस्तकों का निर्माण करना , सेवा पूर्व एवं सेवारत शिक्षकों के प्रशिक्षण कार्यक्रम आयोजित करना  और शिक्षा के क्षेत्र में नवाचारों को प्रोत्साहित करना । 

(iii) माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (Board of Secondary Education, BSE)-   राज्य की माध्यमिक शिक्षा संस्थाओं को शर्तें पूरी करने पर मान्यता देना और मान्यता प्राप्त संस्थाओं का समय-समय पर निरीक्षण करना और उन पर नियन्त्रण करना, माध्यमिक स्तर के लिए पाठ्यक्रमों का निर्माण करना, पाठ्यपुस्तकों का निर्माण अथवा चयन करना और कक्षा 10 व कक्षा 12 की सार्वजनिक परीक्षाओं का सम्पादन करना । 

(iv) राज्य स्रोत केन्द्र (State Resource Centre (SRC) -  प्रशिक्षण कार्यक्रम का आयोजन, सामग्री तैयार करना, सामग्री का प्रकाशन करना, नवाचार प्रोजेक्ट, शोध अध्ययन और मूल्यांकन आदि कार्यक्रमों का आयोजन करना।

(v) उच्च शिक्षा अध्ययन संस्थान (Institute of Advance Studies in Education {IASE})- SSA, RMSA योजनाओं का प्रबंध देखना, शोध कार्यों को प्रोत्साहन देना , सेवापूर्व प्रशिक्षण देना।

(vi) अध्यापक शिक्षा महाविद्यालय (College of Teacher Education) 

(vii) जिला शिक्षा एवं प्रशिक्षण संस्थान (District Institute of Education and Training {DIET})- प्राथमिक शिक्षा एवं प्राथमिक शिक्षक शिक्षा के  प्रशिक्षण की व्यवस्था करना।

(viii) जिला स्रोत इकाईयाँ (District Resource Unit) 

(ix)  ब्लाक स्रोत इकाईयाँ (Block Resource Unit)- प्राथमिक स्तर के अध्यापकों को सभी प्रकार की एकेडेमिक सहायता, शिक्षक शिक्षण, सामुदायिक गतिशीलता, क्रियात्मक अनुसंधान कार्य, प्रतियोगताएँ ।

केंद्रीय स्तर पर शिक्षा प्रशासन की संरचना (Structure of Educational Administration at Central Level)

शैक्षिक प्रशासन (Educational Administration)-

शैक्षिक प्रशासन एक ऐसे सेवा करने वाली गतिविधि है जिसके माध्यम से शैक्षिक प्रक्रिया के लक्ष्य  प्रभावशाली ढंग से प्राप्त किए जाते हैं।

स्वतन्त्रता प्राप्ति के पश्चात् भारत सरकार ने शिक्षा विभाग को शिक्षा मन्त्रालय में परिवर्तित कर दिया। 1957 में शिक्षा मन्त्रालय के साथ वैज्ञानिक अनुसन्धान को भी जोड़ दिया गया।  1958 में इस मन्त्रालय को दो भागों में बाँट दिया गया-

1. शिक्षा मन्त्रालय (Ministry of Education),

2. वैज्ञानिक अनुसन्धान एवं सांस्कृतिक मामलों का मन्त्रालय (Ministry of Scientific Research and Cultural Affairs) 

यह दोनों मन्त्रालय अलग-अलग राज्यमंत्री की अध्यक्षता में रखे गये। 1963 में पुनः इन दोनों मन्त्रालयों को दो भागों में विभक्त कर दिया गया

(i) शिक्षा विभाग (Department of Education)

(ii) विज्ञान विभाग (Department of Science)

यह दोनों ही मन्त्रालय शिक्षा मन्त्री की अध्यक्षता में संगठित किये गये और शिक्षा मन्त्री की सहायता के लिए एक या दो राज्य मन्त्री या उपमन्त्री होते हैं। 1964-65 में शिक्षा मन्त्रालय को पुनर्गठित किया गया और इसमें पाँच ब्यूरो तथा चार डिवीजनों की व्यवस्था की गई।

ब्यूरो (Buereaus) -

1. विद्यालयी शिक्षा (School Education)

2. उच्च शिक्षा (Higher Education)

3. छात्रवृत्तियाँ (Scholarships) 

4. नियोजन  तथा अधीनस्थ शैक्षिक सेवायें (Planning and Ancillary Education Services)

5. भाषाएँ, साहित्य एवं ललित कलाएँ (Language, Literature and fine Arts) 

डिवीजन (Division)- 

1. शारीरिक शिक्षा तथा मनोरंजन (Physical Education and Recreation) 

2. बाह्य सम्बन्ध (External Relations)

3. वैज्ञानिक अनुसन्धान (Scientific Resource)

4. प्रशासन (Administration) 

सन् 1967-68 में मन्त्रालय के ढाँचे में पुनः परिवर्तन किया गया और इसमें दो नये ब्यूरो जोड़े गये और इस प्रकार कुल सात ब्यूरो हो गये।

26 सितम्बर 1985 को शिक्षा मन्त्रालय के नाम को बदल कर मानव संसाधन विकास मन्त्रालय (Ministry of Human Resource Development) रखा गया, जिसमें पाँच विभाग बनाये गये- 

1. शिक्षा विभाग (Department of Education)

2. संस्कृति विभाग (Department of Culture) 

3. कला विभाग (Department of Arts)

4. युवा कल्याण एवं खेलकूद विभाग (Department of youth Affairs and Sports)

5. महिला एवं बाल देखभाल विकास (Department of Women and Child Care)

वर्तमान में केन्द्रीय स्तर पर शैक्षिक प्रशासन तीन स्तरों में विभाजित है— 

• मन्त्रालय (Ministry) 
• सचिवालय (Secretariate) 
• शैक्षिक ब्यूरो  (Educational Buereaus) । 

शैक्षिक प्रशासन एवं उनके कार्य-

1. मानव संसाधन विकास मन्त्रालय (Ministry of Human Resource Development)-  मानव संसाधन मन्त्री इस मन्त्रालय के प्रमुख अधिकारी होते हैं। इस विभाग के राज्य शिक्षा मन्त्री शिक्षा विभाग के शैक्षिक प्रशासन के मुख्य अधिकारी होते हैं। मन्त्रालय का मुख्य कार्य शिक्षा  सम्बन्धी नीतियों का निर्माण करना है।

2. शिक्षा सचिवालय (Education Secretariate) - शिक्षा सचिव (Education Secretary) इस सचिवालय के मुख्य अधिकारी होते हैं। इनके अधीन अतिरिक्त सचिव, उपसचिव और सहायक सचिव होते हैं।  सचिवालय का मुख्य कार्य शिक्षा नीति का कार्यान्वयन है।

3. शैक्षिक व्यूरो (Educational Buereaus) -  वर्तमान में शिक्षा विभाग का प्रशासन निम्न विभागों में विभाजित है।

1. डीपीईपी (District Primary Education Programme)।

2. प्रारम्भिक शिक्षा एवं यु.अ. (Elementary Education and OL)। 

3. प्रौढ़ शिक्षा तथा राष्ट्रीय साक्षरता मिशन  (Adult Education and National Literacy Mission)।

4. योजना (Planning)।

5. विश्वविद्यालयी तथा उच्च शिक्षा (University and Higher Education)।

6. माध्यमिक शिक्षा एवं प्रबन्धन (Secondary Education and Administration)।

7. पुस्तक संवर्धन, छात्रवृत्ति एवं यूटीएस (Book Promotion, Scholarship and UTS)। 

8. भाषाएँ (Languages)।

9. तकनीकी शिक्षा (Technical Education)।

10. व्यावसायिक शिक्षा (Vocational Education)।

11. वित्त (Finance)|

12. लेखा (Accounts)।

इन सब विभागों में एक-एक सहायक सचिव है जो मानव संसाधन विकास मन्त्री और मानव संसाधन विकास राज्य मन्त्री और शिक्षा सचिव को इन विभागों के कार्य कलापों में सहायक एवं संयोजक का कार्य करते है। इन सहायक सचिवों की सहायता के लिए प्रत्येक विभाग में कई अन्य अधिकारी और सहायक स्टाफ है। इन विभागों का कार्य अपने-अपने विभागों से सम्बन्धित शैक्षिक प्रशासन की व्यवस्था करना है।

केन्द्र सरकार ने शिक्षा सम्बन्धी विभिन्न विभागों के कार्य क्षेत्र में परामर्श देने और तत्सम्बन्धी कार्यों का सम्पादन करने में सहयोग करने के लिए कुछ मण्डल, परिषद, संस्थान और आयोगों का गठन किया है।

1. केन्द्रीय शिक्षा सलाहकार बोर्ड (Central Advisory Board of Education, CABE) - शिक्षा संबंधित नीतियों तथा कार्यों में सरकार को सलाह देना।

2. अखिल भारतीय प्रारम्भिक शिक्षा परिषद (All India Council of Elementary Education AICEE) - प्रारंभिक शिक्षा संबंधी नीति और कार्यक्रम तैयार करना।

3. राष्ट्रीय प्रौढ़ शिक्षा संस्थान (National Institute of Adult Education, NIAE) - प्रौढ़ शिक्षा संबंधित नीति एवं कार्यक्रमों को तैयार करना तथा समस्याओं का समाधान करना।

4. राष्ट्रीय शैक्षिक योजना और प्रशासन संस्थान (National Institute of Educational Planning and Administration, NIEPA) - शैक्षिक योजनाओं के निर्माण एवं प्रशासनिक कार्यों में सरकार का सहयोग करना।

5. विश्वविद्यालय अनुदान आयोग (University Grants Commission UGC) - उच्च शिक्षा के स्तर मान को बनाये रखना।

6. राष्ट्रीय ग्रामीण उच्च शिक्षा परिषद (National Rural Higher Education Council (NRHEC) - ग्रामीण उच्च शिक्षा के स्वरूप का निर्धारण एवं संचालन करना।

7. अखिल भारतीय माध्यमिक शिक्षा परिषद (All India Council of Secondary Education, AICSE) - माध्यमिक शिक्षा संबंधित नीति, कार्यक्रम एवं योजना बनाना तथा उससे संबंधित समस्याओं का समाधान करना।

8. राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसंधान एवं प्रशिक्षण परिषद (National Council of Educational Research and Training, NCERT) -अनुसंधान, विस्तार कार्य, स्कूली शिक्षा व शिक्षक शिक्षा संबंधित नीतियों एवं कार्यक्रमों का संचालन करना।

9. राष्ट्रीय शिक्षक शिक्षा परिषद (National Council for Teacher Education, NCTE) - प्राथमिक एवं माध्यमिक शिक्षकों के प्रशिक्षण कार्यक्रमों का निर्माण एवं नियंत्रण करना

10. केन्द्रीय हिन्दी निदेशालय (Central Directorate of Hindi, CDH)-   राष्ट्रभषा हिंदी के स्वरूप का निर्धारण एवं प्रचार का कार्य करना।

11. अखिल भारतीय तकनीकी शिक्षा परिषद (All India Council for Technical Education, AICTE) - तकनीकी शिक्षा के पाठ्यक्रमों के निर्माण एवं उससे संबंधित समस्याओं का समाधान करना।

12. राष्ट्रीय स्त्री शिक्षा  परिषद (National Council of Women Education)- स्त्री शिक्षा के प्रसार से सम्बंधित कार्यक्रमों का निर्माण करना ।